Completando la integral para después integrarla y reducirla
lunes, 2 de diciembre de 2013
12.- Resolviendo la Integral por Dos Maneras Distintas
Resolviendo la potencia para después obtener la integral
Completando la integral para después integrarla y reducirla
Completando la integral para después integrarla y reducirla
11.- Completando Integrales
Antes de resolver una integral será necesario verificar primero que esten completas. Se podrán agregar a la integral todas las constantes que sean necesarias sin importar su presentación o formato. Cuando agreguemos una constante tendremos también que incluir fuera de la integral el recíproco de esa constante con la intención de mantener el equilibrio de la misma. Podrémos incluir constantes y sacar constantes pero nunca podrémos incluir ni sacar variables.
Ejemplo:
Ejemplo:
ʃ(3x² + 3)² x dxCompletando la integral:
n = 2
v = 3x² + 3
dv = 6x
ʃ(3x² + 3)² 6x dx
1/6 ʃ(3x² + 3)² 6x dx
1/6 [(3x² +3)³/3] + c
[(3x² + 3)³/24] + c
10.- Calculo Diferencial e Integral
El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.
El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.
Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.
La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.
Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.
La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
FORMULARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.
Diferenciales.
El diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera. El diferencial de una función ƒ(x) de una única variable real x es la función df de dos variables reales e independientes x y ?x dada por:
df(x, \Delta x) \stackrel{\rm{def}}{=} f'(x)\,\Delta x.
Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, ?x) = ?x es convencional escribir dx = ?x, de manera que la igualdad se mantiene.
df(x) = f'(x) \, dx
df(x, \Delta x) \stackrel{\rm{def}}{=} f'(x)\,\Delta x.
Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, ?x) = ?x es convencional escribir dx = ?x, de manera que la igualdad se mantiene.
df(x) = f'(x) \, dx
9.- Integracion Formula 7
En este caso veremos como integrar la formula 7 la cual es e+c
Debemos usar la regla de integración (vii).
Para eso de?nimos: v = 2 x.
Entonces, la diferencial dv = 2dx
Pero en el integrando falta un 2 para que esté completa la diferencial y podamos aplicar la
regla.
Para completarla vamos a aplicar el siguiente truco:
Dado que la regla (ii) nos permite sacar de la integral una constante, vamos a multiplicar en
el integrando por 2/2, vamos a dejar dentro del integrando al 2 del numerador y vamos a
sacar de la integral al 2 del denominador
Debemos usar la regla de integración (vii).
Para eso de?nimos: v = 2 x.
Entonces, la diferencial dv = 2dx
Pero en el integrando falta un 2 para que esté completa la diferencial y podamos aplicar la
regla.
Para completarla vamos a aplicar el siguiente truco:
Dado que la regla (ii) nos permite sacar de la integral una constante, vamos a multiplicar en
el integrando por 2/2, vamos a dejar dentro del integrando al 2 del numerador y vamos a
sacar de la integral al 2 del denominador
8.- Integracion Formula 3, 4, 5
- 3. ʃdx = x = c
- 4. ʃvⁿ dv = (vⁿ+1/n+1) + c
- 5. ʃdv/v = ln v + c
= ln v + ln c = ln vc
(Haciendo C = ln c)
- Demostración de (3). Puesto que:
d(x + C) = dxObtenemos
ʃdx = x + C.
- Demostración de (4). Puesto que:
Obtenemos:
Esto es cierto para todo valor de n, con excepción de n = -1. En efecto, cuando n = -1, (4) implica división por cero. El caso de n = -1 corresponde a la fórmula (5).
- Demostración de (5). Puesto que:
Obtenemos:
Este resultado puede expresarse en forma más abreviada si representamos la constante de integración por log c. Así:
La fórmula (5) dice: si la expresión que se encuentra bajo el signo integral es una fracción cuyo numemdor es la diferencial del denominador, entonces la integral es el logaritmo natural del denominador.
7.- Integracion Formula 6
Esta fórmula trata sobre la integración de constantes con exponentes variables.
Ejemplos:
Ejemplos:
6.- Integracion Formula 2
adv
Un factor constante puede escribirse o delante del signo integral o después de él.
Demostración: Diferenciando la expression
aʃdv
Obtenemos:
a dvPor lo tanto:
ʃadv = aʃdv
5.- Integracion Formula 1
ʃ(du + dv - dw)
La integral de una suma algebráica de expresiones diferenciales es igual a la misma suma algebraica de las integrales de esas expresiones.Demostración: Diferenciando la expresión
ʃdu + ʃdv - ʃdwSiendo u, v, w funciones de una sola variable, obtenemos
du + dv-dwPor lo tanto:
ʃ(du + du - dw) = ʃdu + ʃdv - ʃdw.
3.-Integracion
Dada la diferencial de una función, la función f(x) que así se obtiene se llama una integral de la expresión diferencial dada; el procedimiento para hallarla se llama integración.
Integración es la operación que se indica escribiendo el signo de Integral ʃ delante de la expresión diferencial dada:
ʃf’(x) dx = f(x)
En general el signo de integración se lee “Integral de (o integrar), la diferencial de x dx”.
dx indica que x es la variable de la integración.
Ejemplos:
Si f(x) = x³
f’(x) = 3x² dx
por tanto
ʃf’(x)
se escribe:
ʃ3x² dx = x³
f(x) = 2x²
f'(x) = 4x dx
por lo tanto
ʃf’(x)
se escribe:
ʃ4x dx = 2x²2.-Derivadas Sucesivas
Hemos visto que en general, la derivada de una f(x) es tambien una f(x). Puede ocurrir que esta nueva funcion sea tambien derivable; en este caso, la derivada de la primera derivada se llama segunda derivada de la funcion primitiva. Analogamente la derivada de la segunda derivada se llama la tercera derivada y asi, sucesivamente, hasta la enésima derivada.
Ejemplos:
1)y= x
y'= 1
y''= 0
2)y= 5x
y'= 5
y''= 0
1.- Diferenciales
Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.
La diferencial de una función se representa por dy.
Ejemplos:
f(x) = x³
df(x) = (3x²) dx
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