Calculo Diferencial

12.- Resolviendo la Integral por Dos Maneras Distintas

Resolviendo la potencia para después obtener la integral

Completando la integral para después integrarla y reducirla

11.- Completando Integrales

Antes de resolver una integral será necesario verificar primero que esten completas. Se podrán agregar a la integral todas las constantes que sean necesarias sin importar su presentación o formato. Cuando agreguemos una constante tendremos también que incluir fuera de la integral el recíproco de esa constante con la intención de mantener el equilibrio de la misma. Podrémos incluir constantes y sacar constantes pero nunca podrémos incluir ni sacar variables.
Ejemplo:

ʃ(3x² + 3)² x dx
n = 2
v = 3x² + 3
dv = 6x

Completando la integral:

ʃ(3x² + 3)² 6x dx
1/6 ʃ(3x² + 3)² 6x dx
1/6 [(3x² +3)³/3] + c
[(3x² + 3)³/24] + c

10.- Calculo Diferencial e Integral

El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.
El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.
Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.
La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

FORMULARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.

Diferenciales.

El diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera. El diferencial de una función ƒ(x) de una única variable real x es la función df de dos variables reales e independientes x y ?x dada por:
df(x, \Delta x) \stackrel{\rm{def}}{=} f'(x)\,\Delta x.

Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, ?x) = ?x es convencional escribir dx = ?x, de manera que la igualdad se mantiene.

df(x) = f'(x) \, dx

9.- Integracion Formula 7

En este caso veremos como integrar la formula 7 la cual es e+c

Debemos usar la regla de integración (vii).
Para eso de?nimos: v = 2 x.
Entonces, la diferencial dv = 2dx
Pero en el integrando falta un 2 para que esté completa la diferencial y podamos aplicar la
regla.
Para completarla vamos a aplicar el siguiente truco:
Dado que la regla (ii) nos permite sacar de la integral una constante, vamos a multiplicar en
el integrando por 2/2, vamos a dejar dentro del integrando al 2 del numerador y vamos a
sacar de la integral al 2 del denominador

8.- Integracion Formula 3, 4, 5

3. ʃdx = x = c
4. ʃvⁿ dv = (vⁿ+1/n+1) + c
5. ʃdv/v = ln v + c

= ln v + ln c = ln vc
(Haciendo C = ln c)

Demostración de (3). Puesto que:

d(x + C) = dx

Obtenemos

ʃdx = x + C.

Demostración de (4). Puesto que:

Obtenemos:

Esto es cierto para todo valor de n, con excepción de n = -1. En efecto, cuando n = -1, (4) implica división por cero. El caso de n = -1 corresponde a la fórmula (5).

Demostración de (5). Puesto que:

Obtenemos:
Este resultado puede expresarse en forma más abreviada si representamos la constante de integración por log c. Así:

La fórmula (5) dice: si la expresión que se encuentra bajo el signo integral es una fracción cuyo numemdor es la diferencial del denominador, entonces la integral es el logaritmo natural del denominador.